残差変動とは
残差変動（Residual Variation）とは？統計モデル、特に回帰分析において、実際の観測値とモデルによる予測値との間のずれ（残差）のばらつきを示す量のことです。
残差変動（ざんさへんどう、Residual Variation）は、統計モデリング、特に回帰分析において、モデルがデータの変動をどれだけ説明できていないかを示す指標です。具体的には、実際の観測値（正解データ）と、構築した統計モデルによる予測値との間の差（残差）の二乗和として計算されます。残差変動が大きいほど、モデルの予測精度が低い、つまりデータに対する当てはまりが悪いと解釈されます。**残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）や誤差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）**と呼ばれることもあります。
残差変動 の基本的な概念
回帰分析の目的は、独立変数（説明変数）を用いて従属変数（目的変数）の変動を説明し、予測することです。理想的なモデルであれば、すべての観測値が回帰線（または回帰平面、超平面）上に位置し、残差はゼロになります。しかし、現実のデータにはノイズやモデルに含まれていない要因による変動が存在するため、予測値と観測値の間には必ずずれが生じます。このずれが残差であり、残差変動は、これらの残差全体のばらつきの大きさを表します。
残差変動 の計算方法
単回帰分析の場合、残差変動は以下の式で計算されます。
ここで、
- RSS：残差平方和（残差変動）
- n：データの個数
- yi：i 番目の観測値（実際の値）
- y^i：i 番目の予測値（回帰モデルによる予測値）
重回帰分析の場合も基本的な考え方は同じで、各観測値とその予測値の差の二乗を合計します。
残差変動 の解釈
残差変動の値が大きい場合、以下の可能性が考えられます。
- モデルの不適合: 選択したモデルが、データ underlying structure（根底にある構造）を適切に捉えられていない。例えば、線形回帰モデルを非線形な関係を持つデータに適用した場合などです。
- 重要な変数の欠落: 従属変数の変動に影響を与える重要な独立変数がモデルに含まれていない。
- データのノイズ: 観測データ自体に大きなランダムな変動（ノイズ）が含まれている。
- 外れ値の影響: 一部の極端な観測値（外れ値）が残差変動を大きく引き上げている。
一方、残差変動の値が小さい場合は、モデルがデータによく適合しており、予測精度が高いと考えられます。
残差変動 と決定係数
残差変動は、回帰モデルの適合度を示す重要な指標である**決定係数（Coefficient of Determination, R2）**と密接な関係があります。決定係数は、従属変数の全変動のうち、回帰モデルによって説明できる変動の割合を示すもので、以下の式で定義されます。
ここで、
- R2：決定係数
- RSS：残差平方和（残差変動）
- TSS：全変動（Total Sum of Squares）：∑i=1n(yi−yˉ)2 (yi は観測値、yˉ は従属変数の平均値)
この式からわかるように、残差変動が小さいほど、決定係数の値は1に近づき、モデルの適合度が高いと評価されます。逆に、残差変動が大きいほど、決定係数の値は0に近づき、モデルの適合度が低いと評価されます。
残差変動は、統計モデルが実際のデータをどれだけうまく説明できているかを評価するための重要な指標です。残差変動を分析することで、モデルの改善点を見つけたり、予測の信頼性を判断したりすることができます。また、決定係数と合わせて理解することで、回帰分析の結果をより深く解釈することが可能になります。。
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