ガウシアンフィルタとは
ガウシアンフィルタは、画像処理や信号処理において、ガウス関数（正規分布曲線）を利用して、ノイズの除去や画像の平滑化（ぼかし）を行うための線形フィルタのことであり、中心のピクセルに近いほど高い重み、遠いほど低い重みを滑らかに適用することで、画像の細部（高周波成分）を効果的に減衰させ、自然で目立たない形でノイズを取り除くための畳み込み演算による処理方式のことです。
ガウシアンフィルタの概要と原理
ガウシアンフィルタ（Gaussian Filter）は、コンピュータビジョンやデジタル画像処理で最も広く利用されている平滑化（スムージング）フィルタの一つです。主に、画像に内在するランダムノイズ（例：ガウスノイズ）を低減したり、画像の局所的な特徴を強調する前処理として使用されたりします。
1. ガウス関数の利用
このフィルタの核となるのは、ガウス関数（Gauss Function）または正規分布曲線の形状です。1次元のガウス関数 $G(x)$ は、以下の式で表されます。
ここで、 $\sigma$（シグマ）は標準偏差であり、この値がフィルタの特性、すなわちぼかしの強さを決定します。
画像処理で一般的に使用される2次元のガウシアンフィルタ $G(x, y)$ の重みは、2次元ガウス関数に基づいて計算されます。
この関数が、フィルタの重み行列（カーネルまたはマスク）を定義します。
2. 重みの特性
ガウシアンフィルタの重みは、中心から外側に向かってなだらかに減衰するという特徴を持っています。
これは、画像上の特定のピクセル（中心）を処理する際、そのピクセル自体の値に最も大きな重みをかけ、周辺のピクセルには距離に応じて徐々に小さな重みをかけることを意味します。
これにより、平均化処理（ぼかし）が行われる際に、急激な境界線が生まれず、非常に自然で視覚的に目立たない平滑化が実現されます。
フィルタリングの実行（畳み込み演算）
ガウシアンフィルタによるノイズ除去や平滑化は、畳み込み演算（Convolution）によって実現されます。
1. 畳み込みプロセス
- カーネルの生成: まず、標準偏差 $\sigma$ とカーネルのサイズ（例：$3 \times 3$、 $5 \times 5$）を決定し、上記2次元ガウス関数に基づいて重み行列（カーネル）を計算します。
- 演算の適用: このカーネルを画像上の各ピクセルに中心を合わせて順次重ねていきます。
- 重み付き和: カーネル内の重みと、カーネルが重なっている下の画像ピクセルの輝度値（またはRGB値）をそれぞれ乗算し、その結果をすべて合計します（重み付き平均）。
- 出力: この合計値が、中心ピクセルの新しい値（フィルタリングされた結果）となります。
この畳み込み演算を画像全体のすべてのピクセルに対して実行することで、画像全体にわたって平滑化が施されます。
2. 標準偏差 $\sigma$ の役割
標準偏差 $\sigma$ は、ガウシアンフィルタの最も重要なパラメータです。
- $\sigma$ が小さい: ガウス曲線が鋭く、重みの影響が中心ピクセルに集中します。結果として、ぼかしの度合いが弱く、ノイズ除去効果は限定的です。
- $\sigma$ が大きい: ガウス曲線が広がり、遠くのピクセルにも大きな重みが適用されます。結果として、ぼかしの度合いが強くなり、より多くのノイズが除去されますが、同時に画像の重要な細部（エッジなど）も失われやすくなります。
ガウシアンフィルタの応用
ガウシアンフィルタは、その優れた平滑化特性から、多岐にわたる画像処理タスクの前処理として利用されます。
- ノイズ除去: 特にガウスノイズと呼ばれるランダムなノイズの除去に効果的です。
- エッジ検出の前処理: 画像のエッジ（輪郭）を検出する際（例：Canny法）、ガウシアンフィルタで事前にノイズを平滑化しておくことで、ノイズによる誤検出を防ぎ、検出精度を向上させます。
- スケール空間表現: 画像を様々な解像度（スケール）で表現する多重解像度分析（例：ガウシアンピラミッド）の構築にも利用されます。
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