勾配法とは
勾配法は、多変数関数の最小値、または最大値を見つけ出すために、関数の勾配（傾き）が示す方向を利用して、探索点を段階的に移動させていく最適化アルゴリズムのことであり、機械学習やディープラーニングにおいて、コスト関数や損失関数を最小化することで、モデルの最適なパラメータ（重みやバイアス）を効率的に探索・決定するための基礎的な最適化手法のことです。
勾配法の概要と基本的な原理
勾配法（Gradient Method）は、数値解析において、関数 $f(x)$ の最小値（または最大値）を探索するための一般的なアルゴリズム群です。機械学習においては、モデルの損失関数（Loss Function） $L$ を最小化することが目的となります。
1. 勾配（Gradient）の定義
勾配とは、多変数関数の各変数に関する偏微分のベクトル $\nabla f$ のことを指します。
この勾配ベクトルは、現在の点における関数の値が最も急激に増加する方向を示します。
2. 勾配降下法（Gradient Descent）
損失関数を最小化することが目的であるため、勾配法では、勾配の正方向とは逆の方向（負の方向）に探索点を移動させます。これを勾配降下法と呼びます。
勾配降下法の基本的な更新式は以下の通りです。
ここで:
- $w_t$: 時刻 $t$ におけるパラメータ（重み）の現在の値。
- $\eta$（イータ）:*学習率（Learning Rate）と呼ばれ、パラメータの更新幅を制御するハイパーパラメータ。
- $\nabla L(w_t)$: 現在のパラメータにおける損失関数の勾配。
主な目的は、損失関数が描く多次元空間の「谷底」（局所的または大域的な最小値）に、効率的かつ確実に到達することです。
勾配法の種類と進化
勾配法は、計算効率と更新の安定性を向上させるために、データの利用方法に応じていくつかのバリエーションに発展しています。
1. 最急降下法（Batch Gradient Descent, BGD）
- 特徴: 勾配を計算するために、全ての訓練データを使用します。
- 利点: 勾配が真の値（大域的な最小値に向かう正確な方向）に近くなるため、更新の方向が安定し、収束が確実です。
- 欠点: 訓練データ全体を使うため、データセットが巨大な場合、1回の更新にかかる計算コストと時間が非常に大きくなります。
2. 確率的勾配降下法（Stochastic Gradient Descent, SGD）
- 特徴: 勾配を計算するために、訓練データからランダムに選ばれた一つのサンプル（1個のデータ）のみを使用します。
- 利点: 1回の更新にかかる計算コストが非常に小さく、非常に高速に処理が進みます。
- 欠点: 勾配の推定精度が低いため、更新の方向が不安定で大きく振動しやすく、収束に時間がかかる場合があります。
3. ミニバッチ勾配降下法（Mini-Batch Gradient Descent）
- 特徴: BGDとSGDの中間に位置し、勾配を計算するために、訓練データからランダムに選ばれた $m$ 個のサブセット（ミニバッチ）を使用します。
- 利点: SGDほど計算が不安定にならず、BGDほど計算コストが大きくならないため、現在、ディープラーニングで最も一般的に使用される手法です。
発展的な最適化手法
SGDの基本的な考え方を基盤としつつ、学習率の調整や慣性の導入を通じて、収束速度と安定性をさらに高めるための発展的な最適化アルゴリズムが開発されています。
- Momentum（慣性）: 過去の更新方向を考慮に入れることで、谷が浅い方向に対して学習を加速させたり、局所的な極小値から脱出したりする助けとなります。
- AdaGrad / RMSprop / Adam: これらは、適応的学習率（Adaptive Learning Rate）を用いる手法です。パラメータごとに過去の勾配の大きさに基づいて学習率を調整し、頻繁に更新されるパラメータに対しては学習率を小さく、稀にしか更新されないパラメータに対しては学習率を大きくすることで、より効率的かつ安定した収束を目指します。
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