ナイキストの定理とは
ナイキストの定理は、アナログ信号をデジタル信号に変換（標本化/サンプリング）する際に、元の信号の情報を完全に保持するために必要な、標本化周波数（サンプリングレート）の下限値を定めた定理のことであり、標本化周波数は、元の信号に含まれる最大周波数成分の2倍よりも大きく（厳密には上回って）なければならないという条件を示すものであり、通信工学、信号処理、デジタルオーディオなどの分野で、信号の正確なデジタル化の基本原理となる、重要な理論的基盤のことです。
ナイキストの定理の概要と標本化
ナイキストの定理（Nyquist’s Theorem）は、情報理論の分野における標本化定理（Sampling Theorem）の基礎を成すものであり、アナログ信号をデジタル表現に変換する際のデータ損失を防ぐための、最も基本的な要件を定義します。
1. 標本化（サンプリング）
標本化とは、時間的に連続しているアナログ信号から、一定の時間間隔で信号の瞬時値を抽出し、離散的なデジタル値に変換するプロセスのことです。この標本化を行う頻度を標本化周波数（$f_s$、サンプリングレート）と呼びます。
2. 定理の内容（ナイキスト周波数）
ナイキストの定理が示す標本化の条件は以下の通りです。
「元の信号に含まれる最大周波数成分 $f_{\text{max}}$ を完全に復元するためには、標本化周波数 $f_s$ は $f_{\text{max}}$ の2倍より大きく（上回って）なければならない」
このときの最大周波数成分 $f_{\text{max}}$ の2倍の値 $2 f_{\text{max}}$ は、ナイキストレート（Nyquist Rate）と呼ばれ、信号を復元するために必要な標本化周波数の理論的な最小値を示します。また、標本化周波数の半分 $f_s/2$ はナイキスト周波数（Nyquist Frequency）と呼ばれます。
エイリアシング（折り返し雑音）の発生
ナイキストの定理の条件が満たされない場合、すなわち $f_s \le 2 f_{\text{max}}$ の関係にある場合、エイリアシング（Aliasing）という現象が発生します。
1. エイリアシングとは
エイリアシングは、標本化された信号に、元の信号には存在しなかった偽の低周波成分が、高い周波数成分と重なって現れる現象です。
- 原因: 標本化周波数が低すぎるために、元の高周波信号を識別できず、標本点をつないだときに、あたかも低周波の信号であったかのように誤って解釈されてしまうことに起因します。
- 影響: エイリアシングが発生すると、デジタル化された信号から元の信号を正確に復元することが不可能になります。
2. 対策：アンチエイリアシングフィルタ
エイリアシングを防ぎ、ナイキストの定理を遵守するためには、標本化の前処理としてアンチエイリアシングフィルタ（Anti-Aliasing Filter）を使用することが不可欠です。
- 機能: 標本化を行う前に、信号に含まれる最大周波数成分 $f_{\text{max}}$（ナイキスト周波数 $f_s/2$ を超える成分）を物理的に除去するローパスフィルタです。
- 目的: これにより、標本化に必要な周波数帯域内に信号成分を制限し、エイリアシングの発生を未然に防ぎます。
応用例：デジタルオーディオ
ナイキストの定理は、デジタルオーディオの分野で具体的に応用されています。
人間の聴覚が識別できる周波数帯域は、およそ20Hzから20kHzまでとされています。この最大周波数成分 $f_{\text{max}}$ を20kHzと仮定した場合、ナイキストの定理に基づき、必要な標本化周波数 $f_s$ の下限は、
となります。
一般的な音楽CDで採用されている標本化周波数は44.1kHzですが、これは上記の下限値40kHzをわずかに超える値であり、エイリアシングを防ぐための保護帯域（ガードバンド）を確保しつつ、人間の可聴域の信号を完全に記録・再生するための必要十分な要件を満たしています。
関連用語
お問い合わせ
システム開発・アプリ開発に関するご相談がございましたら、APPSWINGBYまでお気軽にご連絡ください。
APPSWINGBYの
ソリューション
APPSWINGBYのセキュリティサービスについて、詳しくは以下のメニューからお進みください。
システム開発
既存事業のDXによる新規開発、既存業務システムの引継ぎ・機能追加、表計算ソフトによる管理からの卒業等々、様々なWebシステムの開発を行っています。
iOS/Androidアプリ開発
既存事業のDXによるアプリの新規開発から既存アプリの改修・機能追加まで様々なアプリ開発における様々な課題・問題を解決しています。
リファクタリング
他のベンダーが開発したウェブサービスやアプリの不具合改修やソースコードの最適化、また、クラウド移行によってランニングコストが大幅にあがってしまったシステムのリアーキテクチャなどの行っています。
ご相談・お問い合わせはこちら
APPSWINGBYのミッションは、アプリでビジネスを加速し、
お客様とともにビジネスの成功と未来を形作ること。
私達は、ITテクノロジーを活用し、様々なサービスを提供することで、
より良い社会創りに貢献していきます。
T関する疑問等、小さなことでも遠慮なくお問合せください。３営業日以内にご返答致します。
ご相談・お問合せはこちら
APPSWINGBYのミッションは、アプリでビジネスを加速し、お客様とともにビジネスの成功と未来を形作ること。
私達は、ITテクノロジーを活用し、様々なサービスを提供することで、より良い社会創りに貢献していきます。
IT関する疑問等、小さなことでも遠慮なくお問合せください。３営業日以内にご返答させて頂きます。
