SPFA (Shortest Path Faster Algorithm)とは
SPFAは、グラフ理論における単一始点最短経路問題（Single-Source Shortest Path problem, SSSP）を解くためのアルゴリズムであり、主に負の重みを持つ辺が存在するグラフにおいて、ベルマン・フォード法よりも高い実用上の効率性を示す手法のことであり、キュー（Queue）構造を用いて、最短経路が更新された隣接頂点のみを繰り返し再緩和（Relaxation）することで、処理の高速化を図っているアルゴリズムのことです。
SPFAの概要と応用
SPFA（Shortest Path Faster Algorithm、最短経路高速化アルゴリズム）は、グラフの最短経路を求めるアルゴリズムの一つです。
有名なダイクストラ法が負の重みを持つ辺に対応できないのに対し、SPFAは負の重みを持つ辺が存在しても正しく最短経路を計算できる点が特徴です。ただし、負の閉路（Negative Cycle）が存在する場合は、最短経路が一意に定まらないため、SPFAは負の閉路を検出して処理を停止させます。
SPFAは、その処理のロジックがベルマン・フォード法（Bellman-Ford Algorithm）に類似していますが、実用的なデータセットにおいては、ベルマン・フォード法よりも大幅に高速に動作することが経験的に知られています。
これは、ベルマン・フォード法が全ての辺を繰り返しチェックするのに対し、SPFAが実際に最短経路の推定値が改善された頂点のみを効率的に再処理する仕組みを採用しているためです。
主な目的は、負の重みを持つ辺が存在する稀なグラフ構造を持つデータに対して、ダイクストラ法の高速性とベルマン・フォード法の正確性を兼ね備えた効率的な最短経路解法を提供することです。
SPFAの技術的仕組みとアルゴリズムの流れ
SPFAの基本原理は、ベルマン・フォード法と同様に緩和（Relaxation）操作に基づいています。緩和操作とは、ある辺 $u \to v$ を用いて、始点から頂点 $v$ までの推定最短距離 $d[v]$ を、頂点 $u$ を経由することでより短くできるかどうかを確認し、更新する操作です。
![d[v] = \min(d[v], d[u] + w(u, v))](https://sp-ao.shortpixel.ai/client/to_webp,q_glossy,ret_img,w_236,h_19/https://appswingby.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f660844d9c2d4421a32e0d822503be4c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ここで、$w(u, v)$ は辺 $u \to v$ の重みです。
SPFAでは、この緩和操作を効率化するためにキュー（Queue）構造を使用します。
1. キューを用いた再処理の効率化
- 初期化: 始点 $s$ の距離 $d[s]$ を 0 とし、その他の全ての頂点 $v$ の距離 $d[v]$ を無限大 ($\infty$) に設定します。始点 $s$ をキュー $Q$ に追加します。
- 反復: キュー $Q$ が空になるまで、以下の処理を繰り返します。
- キューから頂点 $u$ を取り出します。
- 頂点 $u$ に隣接する全ての頂点 $v$ に対して緩和操作を試みます。
- 緩和操作の結果、頂点 $v$ の最短距離 $d[v]$ が更新された場合、頂点 $v$ が既にキューに含まれていなければ、キュー $Q$ に $v$ を追加します。
この仕組みにより、最短距離の改善に貢献した頂点のみが次の反復で再検査されるため、多くの辺の無駄な検査が省略されます。
2. 負の閉路の検出
SPFAは、最短距離の更新回数を追跡することで、負の閉路の存在を検出できます。
- ある頂点 $v$ がキューに追加され、その距離が更新された回数（訪問回数）を記録します。
- もし、頂点 $v$ が $|V|$ 回（$|V|$ はグラフの頂点数）以上キューに追加された場合、それは負の閉路が存在することを示します。負の閉路がある場合、その閉路を周回するたびに距離が無限に短くなり続けるため、最短経路は定義されません。
計算量と実用上の性能
複雑性（最悪計算量）
SPFAの最悪時間計算量は、ベルマン・フォード法と同じく $O(|V| \cdot |E|)$（頂点数 $|V|$、辺数 $|E|$）です。これは、特定の悪意あるグラフ構造（例：極端に長く緩和が続くようなグラフ）において発生します。
実用上の性能
しかし、多くの現実のグラフ、特にランダムに生成された疎なグラフでは、SPFAはダイクストラ法に近い、実用上非常に高速な性能を示すことが知られており、平均的な時間計算量は $O(|E|)$ 程度に近づきます。
そのため、負の重みを持つ辺が存在し、かつダイクストラ法では対応できないが、ベルマン・フォード法ほどの遅延は避けたいという場合に、SPFAが選択肢の一つとして用いられます。
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