ガウス分布とは
ガウス分布（Gaussian Distribution）とは、正規分布（Normal Distribution）とも呼ばれ、自然界や社会現象など、様々な分野で観察されるデータをモデル化するために広く用いられる連続確率分布を指します。
その特徴は、データが平均値を中心に対称に分布し、平均から離れるにつれて出現確率が減少していく釣鐘型の曲線を描く点にあります。統計学や機械学習において、非常に重要な基本的な概念です。
ガウス分布の基本的な概念
ガウス分布は、ドイツの数学者カール・フリードリッヒ・ガウスにちなんで名付けられました。誤差の分布や、多数の独立な要因が積み重なって生じる現象（中心極限定理）などを説明する際に特に役立ちます。
主な概念は以下の通りです。
- 連続確率分布: 確率変数が連続的な値をとる場合の確率分布です。ガウス分布は、身長、体重、測定誤差など、連続的な数値データを表現するのに適しています。
- 平均（Mean：μ）: 分布の中心位置を示すパラメータです。データが最も多く集まる場所であり、確率密度が最大となる点です。
- 分散（Variance：σ2）と標準偏差（Standard Deviation：σ）: データの散らばり具合を示すパラメータです。
- 分散は、データが平均値からどれくらい離れて散らばっているかを示す指標であり、標準偏差の2乗です。
- 標準偏差は、分散の平方根で、平均値からの一般的なデータのばらつき度合いを元のデータの単位で表します。$\sigma$ の値が大きいほど、データは広範囲に散らばり、曲線は平坦になります。$\sigma$ の値が小さいほど、データは平均値の周りに集中し、曲線は尖ります。
- 確率密度関数（Probability Density Function：PDF）: ガウス分布の形状を定義する関数です。この関数が描く曲線が、特徴的な釣鐘型になります。 1次元のガウス分布の確率密度関数は以下の式で表されます。
- xは確率変数
- μは平均（期待値）
- σ2は分散
- e はネイピア数（自然対数の底）
- πは円周率
ガウス分布の特性
ガウス分布は、その普遍性と数学的な扱いやすさから、様々な統計的分析やモデリングに利用されます。
- 中心極限定理（Central Limit Theorem）: 独立同分布に従う多数の確率変数の合計（または平均）は、元の分布の形状にかかわらず、サンプルの数が十分大きければ正規分布に近づくという統計学の重要な定理です。これにより、多くの自然現象や測定誤差がガウス分布で近似できる理由が説明されます。
- 68-95-99.7ルール（経験則）: ガウス分布に従うデータにおいて、
- 約68%のデータが平均値から$\pm 1\sigma$の範囲内に収まる。
- 約95%のデータが平均値から$\pm 2\sigma$の範囲内に収まる。
- 約99.7%のデータが平均値から$\pm 3\sigma$の範囲内に収まる。 このルールは、データのばらつきを直感的に理解するために非常に役立ちます。
- 多変量ガウス分布（Multivariate Gaussian Distribution）: 複数の確率変数（次元）を持つデータに対応するために拡張されたガウス分布です。平均ベクトルと共分散行列によって特徴づけられます。機械学習、特にパターン認識や画像処理などで頻繁に用いられます。
ガウス分布の応用分野
ガウス分布は、その理論的な美しさと実用性から、幅広い分野で活用されています。
- 統計的品質管理: 製品の寸法や重量などの品質特性がガウス分布に従うと仮定し、規格からの逸脱を管理します。
- 金融工学: 株価の変動やリターンがガウス分布に従うという仮定は、ブラック-ショールズモデルなどの多くの金融モデルの基礎となっています。
- 信号処理: ノイズのモデリング（ガウスノイズ）、フィルタリング（ガウスフィルター）に利用されます。
- 画像処理: 画像のぼかし（ガウシアンブラー）、エッジ検出などにガウスフィルターが用いられます。
- 機械学習:
- 線形回帰: 誤差項がガウス分布に従うと仮定されることが多いです。
- サポートベクターマシン（SVM）: カーネル関数の一つとしてガウスカーネルが用いられます。
- ガウス混合モデル（GMM）: 複数のガウス分布を組み合わせて複雑なデータ分布を表現し、クラスタリングや密度推定に用いられます。
- ベイズ統計: 事前分布や事後分布としてガウス分布が頻繁に用いられます。
- 強化学習: 連続行動空間における方策の表現にガウス分布が用いられることがあります。
- 心理学・社会学: 知能指数（IQ）の分布や、様々な心理測定尺度でガウス分布が観察されます。
ガウス分布（Gaussian Distribution）は、正規分布とも呼ばれ、平均値を中心に対称な釣鐘型の曲線を描く連続確率分布です。その形状は平均（μ）と分散（）によって決まります。
中心極限定理によって多くの自然現象や測定誤差がこの分布で近似できるため、統計学や機械学習において極めて重要な役割を果たします。
金融、信号処理、画像処理、そして機械学習の様々なアルゴリズム（ガウス混合モデル、SVMなど）の基盤として広く応用されています。その普遍性と数学的な扱いやすさが、ガウス分布をデータ分析の強力なツールたらしめています。
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