フーリエ変換とは
フーリエ変換は、時間や空間上の信号を、その信号を構成する個々の周波数成分へと分解する数学的な手法のことです。
フーリエ変換の概要と目的
フーリエ変換（Fourier Transform）は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって考案されたもので、信号処理や物理学、工学、情報科学など、多岐にわたる分野で利用される極めて重要な概念です。
この変換の基本的な考え方は、「あらゆる複雑な波形（信号）は、単純な正弦波や余弦波の重ね合わせで表現できる」 というものです。
例えば、人間の声や音楽は、複数の異なる高さ（周波数）の音が混ざり合ってできています。
フーリエ変換を用いると、この複雑な音の波形を、どの周波数の音がどのくらいの強さで含まれているかという情報に変換できます。
これにより、信号の隠れた特性を分析したり、ノイズを除去したり、信号を圧縮したりすることが可能になります。
主な目的は、時間領域（または空間領域）で扱いにくい信号を、周波数領域という別の視点から分析し、その本質的な構造を明らかにすることです。
フーリエ変換の数学的表現
フーリエ変換は、連続時間信号と離散時間信号で異なる形式で表現されますが、基本的な考え方は同じです。
連続時間フーリエ変換
時間領域の信号$f(t)を、周波数領域の信号F(\omega)$に変換します。
f(t): 時間tにおける信号
F(ω): 周波数$\omega$における信号の周波数成分
e−jωt: オイラーの公式で表される複素正弦波
離散フーリエ変換（DFT）
コンピュータで扱うデジタル信号（離散的なデータ）に適用される形式です。
fn: 離散的な信号
N: サンプル数
Fk: k番目の周波数成分
この計算を高速化するアルゴリズムが、高速フーリエ変換（FFT）です。
フーリエ変換の応用例
フーリエ変換の応用範囲は非常に広範です。
- 音声・画像処理
- 音の周波数分析（イコライザー）、ノイズ除去、画像の圧縮（JPEG形式など）に利用されます。画像の周波数成分を分析することで、エッジやテクスチャといった特徴を抽出できます。
- 通信工学
- 無線通信において、信号を効率的に変調・復調するために不可欠です。
- 医療画像
- MRI（磁気共鳴画像法）やCTスキャンなどの画像再構成に用いられます。
- 物理学・地震学
- 地震波の周波数分析を通じて、地下の構造を推定します。
フーリエ変換は、一見すると時間とともに変化する複雑な現象を、その背後にある単純な周期性という本質的な特性にまで分解する、強力な数学的ツールです。
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