単回帰分析とは
単回帰分析とは、統計学における回帰分析の一種であり、一つの目的変数（従属変数）の変動を、ただ一つの説明変数（独立変数）の線形関数によって予測したり説明したりするための最も基本的な手法です。
二つの量的変数の間に存在する線形な関係性をモデル化し、その関係の強さや方向性を明らかにすることを目的とします。
単回帰分析 の基本概念
単回帰分析では、目的変数 y と説明変数 x の間に以下の線形モデルを仮定します。
y=β0+β1x+ϵ
ここで、
- y は目的変数（予測したい変数）
- x は説明変数（予測に用いる変数）
- β0 は切片（intercept）、説明変数が0のときの目的変数の予測値
- β1 は回帰係数（回帰直線の傾き）、説明変数が1単位増加したときの目的変数の平均的な変化量
- ϵ は誤差項（error term）、モデルでは説明しきれないランダムな変動
単回帰分析の目的は、与えられたデータに基づいて、切片 β0 と回帰係数 β1 の最適な値を推定し、目的変数と説明変数間の線形関係を表す回帰直線を特定することです。
単回帰分析 の前提条件
単回帰分析を適切に行い、信頼性の高い結果を得るためには、以下の前提条件が満たされていることが望ましいとされます。
- 線形性（Linearity）: 目的変数と説明変数の間に線形な関係が存在すること。
- 独立性（Independence of Errors）: 誤差項は互いに独立であること（自己相関がないこと）。
- 等分散性（Homoscedasticity）: 誤差項の分散は、全ての説明変数の値に対して一定であること。
- 誤差項の正規性（Normality of Errors）: 誤差項は平均0の正規分布に従うこと。
- 説明変数の変動: 説明変数にはばらつきが存在すること。
これらの前提条件が満たされない場合、分析結果の解釈に注意が必要となるか、あるいはデータの変換や異なる分析手法の検討が必要となることがあります。
回帰直線の推定
回帰直線のパラメータ（切片 β0 と回帰係数 β1）は、通常、最小二乗法（Ordinary Least Squares, OLS）によって推定されます。最小二乗法は、実際の目的変数の値と回帰直線による予測値との差（残差）の二乗和を最小にするように、パラメータを決定する方法です。
単回帰分析 の解釈
推定された回帰直線 y=β^0+β^1x を用いて、説明変数 x の値から目的変数 y の値を予測することができます。また、回帰係数 β^1 の符号と大きさによって、説明変数が目的変数に与える影響の方向と程度を評価することができます。
決定係数（R2）
単回帰分析のモデルの適合度を示す指標として、決定係数（Coefficient of Determination, R2）が用いられます。決定係数は、目的変数の全変動のうち、回帰モデルによって説明できる変動の割合を示し、0から1の間の値を取ります。1に近いほど、モデルのデータへの適合度が高いと解釈されます。
単回帰分析 の応用例
単回帰分析は、二つの量的変数の関係性を理解し、予測を行うための基本的なツールとして、様々な分野で応用されています。
- 経済学: 広告費と売上の関係分析、気温とアイスクリームの売上の関係分析
- 医学: 薬の投与量と効果の関係分析、血圧と年齢の関係分析
- 教育学: 学習時間とテストの成績の関係分析
- マーケティング: 顧客満足度とリピート率の関係分析
単回帰分析は、一つの説明変数を用いて一つの目的変数を予測・説明するための基本的な統計手法であり、二つの量的変数の間の線形な関係性をモデル化します。回帰直線の推定、係数の解釈、モデルの適合度評価を通じて、変数間の関係性を理解し、将来の値を予測する上で重要な役割を果たします。より複雑な関係性を分析する場合には、複数の説明変数を用いる重回帰分析などの手法が用いられます。
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