線形漸化式とは
線形漸化式とは、数列の各項が、それ以前の項の線形結合（定数倍の和）で表される漸化式のことです。数列の規則性を記述する際に用いられ、様々な分野で応用されています。
線形漸化式の形式
一般に、線形漸化式は以下の形式で表されます。
a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2} + ... + c_k * a_{n-k} + f(n)
ここで、
- a_n: 数列の第n項
- c_1, c_2, …, c_k: 定数
- f(n): nの関数
特に、f(n) = 0 の場合、斉次線形漸化式と呼ばれます。
線形漸化式の例
- フィボナッチ数列: a_n = a_{n-1} + a_{n-2}
- 等比数列: a_n = r * a_{n-1}
- 等差数列: a_n = a_{n-1} + d
線形漸化式の解法
線形漸化式の解法は、その形式によって異なります。
- 斉次線形漸化式: 特性方程式を解くことで一般項を求めます。
- 非斉次線形漸化式: 斉次線形漸化式の解に、特殊解を加えることで一般項を求めます。
線形漸化式の応用
線形漸化式は、様々な分野で応用されています。
- 数列の性質の解析
- アルゴリズムの計算量解析
- 確率・統計
- 暗号理論
線形漸化式は、数列の規則性を記述し、解析するための重要なツールです。様々な分野で応用されており、その解法を理解することで、より高度な問題解決が可能になります。
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