線形目的関数とは
線形目的関数（Linear Objective Function）とは、数理最適化問題において、最大化または最小化を目指す量が、決定変数と呼ばれる変数の一次式（線形結合）で表現される関数のことです。
線形計画問題（Linear Programming, LP）の重要な構成要素の一つであり、制約条件もまた変数の線形不等式または等式で表されます。
線形目的関数 の基本概念
数理最適化問題は、与えられた制約条件の下で、ある目的関数を最大化または最小化する変数の値を求める問題です。目的関数が線形であるとは、関数が以下の形式で表されることを意味します。
f(x1,x2,…,xn)=c1x1+c2x2+…+cnxn=i=1∑ncixi
ここで、x1,x2,…,xn は決定変数であり、c1,c2,…,cn は目的関数の係数（コスト係数または利益係数）と呼ばれる定数です。線形目的関数の特徴は、各変数が単独で、一定の割合で目的関数の値に寄与し、変数間の積やべき乗などの非線形な項を含まないことです。
線形計画問題における役割
線形計画問題は、線形目的関数と線形制約条件から構成されます。線形目的関数は、この問題で最適化（最大化または最小化）されるべき対象であり、例えば、利益の最大化、コストの最小化、資源の効率的な利用などが考えられます。線形制約条件は、決定変数が満たすべき線形の不等式または等式の集まりであり、資源の制約、生産能力の制約、需要の制約などを表現します。
線形計画問題の一般的な形式は以下の通りです。
最大化問題: 最大化 c1x1+c2x2+…+cnxn 制約 <0>a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 … am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm x1,x2,…,xn≥0</0>
最小化問題: 最小化 c1x1+c2x2+…+cnxn 制約 a11x1+a12x2+…+a1nxn≥b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≥b2 … am1x1+am2x2+…+amnxn≥bm x1,x2,…,xn≥0
線形目的関数 の特徴
- 単純性: 変数の一次式で表されるため、数学的に扱いやすく、解析が比較的容易です。
- 最適解の性質: 線形計画問題の実行可能領域は凸多面体であり、最適解は通常、この多面体の頂点（端点）に存在します。この性質は、シンプレックス法などの効率的な解法の基礎となっています。
- スケーラビリティ: 多くの実世界の問題を線形計画問題としてモデル化することができ、大規模な問題に対しても効率的な解法が存在します。
- 双対性: 全ての線形計画問題には、元の問題（主問題）と密接に関連する双対問題が存在し、双対問題の解は主問題の最適値に関する重要な情報を提供します。
線形目的関数 の応用例
線形目的関数は、様々な分野における最適化問題のモデル化に用いられます。
- 生産計画: 限られた資源（労働力、原材料、機械など）の下で、製品の生産量を決定し、利益を最大化する。目的関数は総利益の線形結合で表されます。
- 輸送問題: 複数の供給地から複数の需要地への製品の輸送コストを最小化する。目的関数は輸送量と輸送コストの積の総和として表されます。
- 資源配分問題: 限られた予算を複数のプロジェクトにどのように配分すれば、総収益や効果を最大化できるかを決定する。目的関数は各プロジェクトの収益の線形結合で表されます。
- 配合問題: 複数の原材料を組み合わせて、特定の品質を満たす製品を最小コストで製造する。目的関数は原材料のコストの線形結合で表されます。
- スケジュール問題: タスクの開始時間や終了時間を決定し、総完了時間や遅延を最小化する。目的関数はこれらの時間の線形結合で表されることがあります。
非線形目的関数との比較
線形目的関数とは対照的に、非線形目的関数は、変数の二乗以上の項、変数間の積、指数関数、対数関数などを含む関数です。非線形最適化問題は、線形計画問題よりも一般に解くのが難しく、最適解の性質もより複雑になります。しかし、現実世界の多くの問題は非線形な関係性を持つため、非線形最適化も重要な分野です。
線形目的関数は、数理最適化問題において、最適化したい目的が変数の一次式で表現される基本的な関数です。線形計画問題の中核をなし、その単純さ、解析の容易さ、効率的な解法が存在することから、生産計画、輸送問題、資源配分など、様々な実世界の問題のモデル化と解決に広く応用されています。非線形目的関数と比較して扱いやすいものの、現実世界の複雑な関係性を捉えるためには、非線形最適化の手法も重要となります。
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