ナイキスト・シャノンの定理とは
ナイキスト・シャノンの定理は、アナログ信号をデジタル信号に変換する際、元の信号を完全に復元するために必要な最小のサンプリング周波数に関する定理のことです。
ナイキスト・シャノンの定理の概要と目的
ナイキスト・シャノンの定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）は、標本化定理とも呼ばれ、通信工学やデジタル信号処理の分野における最も基本的な理論の一つです。
この定理は、連続的なアナログ信号を離散的なデジタルデータに変換するプロセスであるサンプリング（標本化）を行う際に、元の信号に含まれるすべての情報を失うことなく復元するために、どのくらいの速さでサンプリングすればよいかを示しています。
この定理の主な目的は、アナログ信号のデジタル化における理論的基盤を提供することです。これにより、CD、MP3、デジタル画像など、私たちが日常的に利用するデジタルメディアの設計基準が確立されました。
定理の内容
ナイキスト・シャノンの定理は、以下のように簡潔に述べることができます。
あるアナログ信号に含まれる最も高い周波数成分を fmax とするとき、その信号を完全に復元するためには、サンプリング周波数 fs を 2fmax よりも高くする必要がある。
これを式で表すと以下のようになります。
この 2fmax という値は、ナイキスト周波数（Nyquist Frequency）と呼ばれます。定理が示すのは、サンプリング周波数がナイキスト周波数よりも低いと、元の信号を正しく表現できず、信号が歪んでしまう現象（エイリアシング）が発生するということです。
エイリアシングとアンチエイリアシングフィルタ
エイリアシング（Aliasing）
サンプリング周波数 fs がナイキスト周波数 2fmax を下回ると、元の信号に含まれる高い周波数成分が、サンプリングされたデータ上では低い周波数成分として誤って認識されてしまいます。この現象をエイリアシングと呼びます。
エイリアシングが発生すると、元の信号とは異なる偽の信号が生成され、デジタルデータから元の信号を正確に復元することは不可能になります。例えば、映画やアニメーションで、車輪が逆回転しているように見える現象は、カメラのシャッタースピード（サンプリング周波数に相当）が車輪の回転速度（信号の周波数に相当）に対して低すぎるために起こる、視覚的なエイリアシングの一例です。
アンチエイリアシングフィルタ（Anti-Aliasing Filter）
エイリアシングを防ぐためには、サンプリングの前に、元の信号からナイキスト周波数以上の周波数成分を意図的に除去する必要があります。この役割を果たすのがアンチエイリアシングフィルタです。
- 役割: サンプリングの前に、信号に含まれる高周波成分をカットオフ周波数 fs/2 で除去します。
- 目的: フィルタリングによって fmax を実質的に fs/2 以下に抑え、サンプリング周波数がナイキスト周波数の条件を満たすようにします。
アンチエイリアシングフィルタを適用することで、情報の一部は失われますが、サンプリングされたデータから元の信号を正確に復元できるようになり、データの品質が保証されます。
ナイキスト・シャノンの定理の応用例
ナイキスト・シャノンの定理は、様々なデジタル技術の基礎となっています。
- CD（コンパクトディスク）
- 人間が聴き取れる最も高い周波数は約20kHzです。このため、元の音声信号を忠実に記録するために、CDでは44.1kHzというサンプリング周波数が採用されました。これは、
というナイキスト周波数に対して十分な余裕を持たせた設計です。
- 人間が聴き取れる最も高い周波数は約20kHzです。このため、元の音声信号を忠実に記録するために、CDでは44.1kHzというサンプリング周波数が採用されました。これは、
- 電話回線
- 電話で使われる音声の周波数帯域は、人間の声が聞き取れる範囲に絞られており、約4kHzが上限とされています。このため、電話の音声信号のデジタル化には、8kHzというサンプリング周波数が使われています。
- 画像処理
- 画像のサンプリング周波数は、ピクセル密度（dpi）に相当します。画像の細部（高い周波数成分）を失わずにデジタル化するためには、十分なピクセル密度が必要です。
ナイキスト・シャノンの定理は、アナログとデジタルの間の架け橋となり、デジタル時代を支える上で不可欠な理論です。
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