ベルマン・フォード法とは
ベルマン・フォード法は、グラフ理論において、与えられた始点から他のすべての頂点までの最短経路を、辺の重みが負である場合も含めて計算するアルゴリズムのことです。
ベルマン・フォード法の概要と目的
ベルマン・フォード法（Bellman-Ford algorithm）は、ダイクストラ法と並んで、グラフの最短経路問題を解くための代表的なアルゴリズムです。
ダイクストラ法が辺の重みが非負である場合にのみ適用可能なのに対し、ベルマン・フォード法は負の重みを持つ辺が存在する場合でも正しく機能します。しかし、負の閉路（サイクル）が存在する場合には、最短経路が定義できなくなるため、このアルゴリズムは負の閉路の検出も行います。
主な目的は、金融取引のアービトラージ（裁定取引）やネットワークルーティングなど、負のコストや利益が存在する現実世界の問題をモデル化し、最適解を導き出すことです。
ベルマン・フォード法の動作プロセス
ベルマン・フォード法は、動的計画法（Dynamic Programming）の考え方に基づいています。
- 初期化:
- 始点の頂点までの距離を0とし、他のすべての頂点までの距離を無限大に設定します。
- 緩和（Relaxation）:
- グラフ内のすべての辺について、以下の条件を満たす場合に、終点の頂点までの距離を更新します。
この緩和操作を、グラフの頂点数から1を引いた回数だけ繰り返します。
- 負の閉路の検出:
- 緩和操作をさらに1回（頂点数回目）実行します。
- この追加の反復で、いずれかの辺がさらに緩和された場合、それは負の閉路が存在することを意味します。負の閉路内では、経路をたどるたびにコストが無限に小さくなるため、最短経路は定義されません。
ベルマン・フォード法とダイクストラ法の比較
ベルマン・フォード法は負の辺を扱える一方で、ダイクストラ法に比べて計算コストが高いという欠点があります。
| 特徴 | ベルマン・フォード法 | ダイクストラ法 |
| 辺の重み | 負の重みを含む | 非負の重みのみ |
| 計算量 | O(VE) | O(ElogV) または O(V2) |
| 応用 | 負の辺があるグラフ、負の閉路検出 | GPSナビゲーション、ネットワークルーティング（非負の場合） |
ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数を表します。
ベルマン・フォード法は、そのアルゴリズムの堅牢性から、ネットワークプロトコル（例：RIP）や、負のコストが存在するような複雑な最適化問題において、今もなお重要な役割を担っています。
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