ポアソン分布とは

ポアソン分布は、ある一定期間内に、特定の事象が特定の平均回数で発生する場合に、その事象が実際に発生する回数を表す離散確率分布のことです。

ポアソン分布の概要と目的

ポアソン分布（Poisson Distribution）は、稀にしか起こらない事象（稀事象）の発生確率を予測するために広く用いられる統計学のモデルです。フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンにちなんで名づけられました。この分布は、事象が独立してランダムに発生し、単位時間あたりの発生率が一定であるという仮定に基づいています。

主な目的は、特定の時間、空間、または期間内での事象の発生回数を予測し、リスク評価やリソース計画に役立てることです。例えば、コールセンターにかかってくる電話の数、ウェブサイトへのアクセス数、特定の交差点での交通事故の件数といった、計数データ（countable data）のモデリングに非常に適しています。

ポアソン分布の数学的表現

ポアソン分布の確率質量関数（Probability Mass Function: PMF）は、以下の式で表されます。

P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

  • X: 観測される事象の発生回数を表す確率変数。
  • k: 実際に発生した事象の回数（k=0,1,2,…）。
  • λ（ラムダ）: 単位時間（または空間）あたりの事象の平均発生回数です。これは分布の唯一のパラメータであり、$ \lambda > 0$です。
  • e: 自然対数の底（約2.718）。
  • k!: kの階乗。

ポアソン分布の期待値（平均）と分散は、どちらもパラメータ$\lambda$に等しくなります。

E[X] = \lambda Var(X) = \lambda

これは、平均値が増加すると、分散も同じように増加するという、この分布の重要な特性を示しています。

ポアソン分布の具体例と応用

ポアソン分布は、さまざまな分野で応用されています。

  • 例1: コールセンターの電話応対
    • 1時間あたり平均10件の電話がかかってくるコールセンターで、次の1時間に電話が5件だけかかってくる確率を計算する際に使用できます。
  • 例2: ウェブサイトへのアクセス数
    • 1分間に平均20回のアクセスがあるウェブサイトで、特定の1分間に30回以上アクセスが集中する確率を予測し、サーバーの負荷対策に役立てます。
  • 例3: 製造業での不良品発生
    • 1日あたり平均2個の不良品が発生する工場で、特定の日に不良品が1つも発生しない確率を計算します。
  • 例4: 交通渋滞
    • 特定の交差点での1時間あたりの平均的な交通事故発生件数に基づいて、その件数が特定の回数となる確率を予測します。

ポアソン分布は、時間や空間にわたるランダムな事象の発生をモデル化するための強力なツールであり、IT分野だけでなく、保険、金融、生物学など、多くの領域で意思決定に役立てられています。

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