線形回帰とは
線形回帰（Linear Regression）は、統計学および機械学習において、連続値の予測に用いられる基本的なモデルです。入力変数と出力変数との間に線形な関係を仮定し、その関係をモデル化することで、未知の出力変数を予測します。
線形回帰の基本原理
線形回帰は、以下の要素に基づいて連続値を予測します。
- 線形結合
- 入力変数に重みを掛け、バイアスを加えることで、線形結合を計算します。
- この線形結合が、出力変数の予測値となります。
- 最小二乗法
- 実際の出力変数と予測値との誤差（残差）の二乗和を最小化するように、モデルのパラメータ（重みとバイアス）を最適化します。
線形回帰の仕組み
線形回帰の学習は、以下の手順で行われます。
- モデルの定義
- 入力変数と出力変数の関係を、線形結合を用いてモデル化します。
- 損失関数の定義
- モデルの予測と実際の出力との誤差を測る損失関数（例：二乗誤差）を定義します。
- パラメータの最適化
- 損失関数を最小化するように、モデルのパラメータ（重みとバイアス）を最適化します。
- 最適化には、最小二乗法や勾配降下法などのアルゴリズムが用いられます。
- 予測:
- 学習されたモデルを用いて、新しい入力データに対する出力変数を予測します。
線形回帰の利点
- 解釈の容易さ
- パラメータの重みが、入力変数の出力変数に対する影響力を表すため、モデルの解釈が容易です。
- 計算効率の高さ
- 比較的計算コストが低く、大規模なデータセットにも適用可能です。
- 幅広い応用
- 経済、金融、医療、工学など、様々な分野で応用されています。
線形回帰の課題
- 線形性の仮定
- 入力変数と出力変数との関係が非線形の場合、高い性能を発揮できません。
- 外れ値の影響
- 外れ値（異常値）の影響を受けやすく、予測精度が低下する可能性があります。
- 多重共線性
- 入力変数間に強い相関がある場合、パラメータの推定が不安定になることがあります。
線形回帰は、連続値の予測に用いられる基本的な統計モデルであり、その解釈の容易さと計算効率の高さから、様々な分野で広く利用されています。
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