行列とは
行列（Matrix）とは、数値や記号（要素）を長方形の形に縦横に規則正しく並べ、括弧で囲んだ数学的な構造を指します。
線形代数学の基本的な概念であり、連立一次方程式の表現、線形変換の記述、多次元データの操作など、数学、物理学、工学、コンピュータサイエンス、経済学といった多岐にわたる分野で利用されます。
行列の基本的な概念
行列は、複数の情報をまとめて扱うための強力なツールです。スカラー（単一の数値）やベクトル（1列または1行に並んだ数値）を一般化したものと考えることができます。
主な概念は以下の通りです。
- 要素（Element）: 行列を構成する個々の数値や記号のことです。通常、
のように表記され、iが行番号、jが列番号を示します。
- 行（Row）と列（Column）: 要素の横方向の並びを行と呼び、縦方向の並びを列と呼びます。
- サイズ（Size）/ 次元（Dimension）: 行列の行の数と列の数で定義されます。
- $m 行 $ n 列の行列は「$m\times n 行列」と表記されます。
- 正方行列（Square Matrix）: 行の数と列の数が等しい行列（$ n\times n行列）を指します。正方行列には、行列式、逆行列、固有値といった重要な特性があります。
- ベクトルとの関係:
- 行ベクトル: 1行の行列（1 x n 行列）
- 列ベクトル: 1列の行列（m x 1 行列）
行列の応用分野
行列は、多岐にわたる分野で強力なツールとして利用されています。
- コンピュータグラフィックス: 3Dモデルの回転、拡大縮小、平行移動といった幾何学的変換を表現するために用いられます。カメラの視点変換やプロジェクション（投影）も行列演算で行われます。
- 機械学習とデータサイエンス: データそのものが通常、行列形式（行がサンプル、列が特徴量）で表現されます。線形回帰、ニューラルネットワーク、主成分分析（PCA）など、多くのアルゴリズムが内部で行列演算を多用します。
- 物理学と工学: 量子力学、構造解析、電気回路解析、制御理論など、様々な物理現象やシステムのモデル化に用いられます。
- 経済学と統計学: 経済モデルの構築、多変量解析、時系列分析などで利用されます。
- 暗号理論: 行列を用いた暗号化・復号化の手法が存在します。
- 連立一次方程式の解法: 複数の未知数を含む連立一次方程式を、行列形式で簡潔に表現し、ガウスの消去法や逆行列を用いることで効率的に解くことができます。
行列（Matrix）とは、数値や記号を長方形に並べた数学的構造であり、線形代数学の基礎をなす概念です。要素、行、列、サイズといった基本的な構成要素を持ち、加法、減法、スカラー倍、乗法、転置といった多様な演算が定義されています。単位行列、ゼロ行列、対角行列、逆行列などの特殊な行列も存在します。
コンピュータグラフィックスにおける幾何学変換、機械学習におけるデータ表現とアルゴリズム、物理学や工学におけるシステムモデリング、経済学や統計学におけるデータ解析、連立一次方程式の解法など、その応用範囲は極めて広範であり、現代科学技術において不可欠な数学的ツールとして位置づけられています。
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