逆フーリエ変換とは
逆フーリエ変換（Inverse Fourier Transform）とは、フーリエ変換によって周波数領域に変換された信号を、元の時間領域の信号に戻すための数学的な変換です。フーリエ変換と逆フーリエ変換は、互いに逆の関係にあり、信号処理において重要な役割を果たします。
フーリエ変換と逆フーリエ変換の関係
フーリエ変換は、時間領域の信号を周波数領域の信号に変換する操作であり、逆フーリエ変換は、その逆の操作を行います。つまり、フーリエ変換された信号に逆フーリエ変換を適用すると、元の時間領域の信号が復元されます。
逆フーリエ変換の式
時間領域の信号をf(t)、周波数領域の信号をF(ω)とすると、逆フーリエ変換は以下の式で表されます。
f(t) = (1/2π) ∫[-∞, ∞] F(ω) exp(jωt) dω
ここで、
- f(t): 時間領域の信号
- F(ω): 周波数領域の信号
- t: 時間
- ω: 角周波数
- j: 虚数単位
- exp(jωt): オイラーの公式 exp(jθ) = cos(θ) + jsin(θ)
逆フーリエ変換の応用例
逆フーリエ変換は、様々な分野で応用されています。
- 画像処理: 周波数領域でフィルタリングされた画像を、時間領域（空間領域）に戻して表示します。
- 音声処理: 周波数領域で分析された音声信号を、時間領域に戻して再生します。
- 通信: 周波数多重された信号を、時間領域に戻して復調します。
- 医療: MRIやCTなどの医療画像処理において、周波数領域で処理された画像を、時間領域（空間領域）に戻して表示します。
- 振動解析: 周波数領域で分析された振動信号を、時間領域に戻して解析します。
逆フーリエ変換は、フーリエ変換によって周波数領域に変換された信号を、元の時間領域の信号に戻すための重要な数学的な変換です。画像処理、音声処理、通信、医療、振動解析など、様々な分野で応用されています。
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