シャノンの標本化定理とは
シャノンの標本化定理（Shannon’s Sampling Theorem）とは、連続時間信号に含まれる全ての周波数成分を歪みなく完全に再構成するために必要な、信号の最高周波数の2倍を超えるサンプリング周波数に関する重要な定理のこと。
シャノンの標本化定理（シャノンのひょうほんかていり、Shannon’s Sampling Theorem）は、信号処理の分野における фундаментальные な原理の一つであり、連続時間信号を離散的なサンプル点列から完全に再構成するための必要条件を示す定理です。
この定理は、信号に含まれる最高周波数成分（最大周波数）を fmax とした場合、その信号を歪みなく再構成するためには、サンプリング周波数 fs が 2fmax より大きくなければならない、と述べています。
この 2fmax の周波数はナイキストレート（Nyquist rate）と呼ばれ、サンプリング周波数がナイキストレート以上であれば、理想的なローパスフィルタを用いることで、元の連続時間信号を完全に復元できることが保証されます。
シャノンの標本化定理 の基本的な概念
現実世界のアナログ信号（音声、画像、センサーデータなど）は連続的な時間変化を持ちますが、コンピュータで処理したり、デジタル形式で保存したりするためには、一定の時間間隔で信号の値を測定し、離散的な数値の列（サンプル列）に変換する必要があります。このプロセスがサンプリング（標本化）です。
シャノンの標本化定理は、このサンプリングレート（サンプリング周波数）が元の信号の周波数成分とどのように関係しているかを明確に示しています。もしサンプリング周波数が信号の最大周波数の2倍未満である場合、サンプリングされた信号からは元の信号の全ての情報を捉えることができず、再構成時にエイリアシング（aliasing）と呼ばれる歪みが生じます。
エイリアシングとは、高い周波数成分がサンプリングによって低い周波数成分として誤って認識される現象です。
シャノンの標本化定理 の数学的表現
連続時間信号 x(t) が、そのフーリエ変換 X(f) において、ある有限の最大周波数 fmax より高い周波数成分を含まない（つまり、∣f∣>fmax で X(f)=0 である）場合、この信号は、サンプリング周波数 fs>2fmax で等間隔にサンプリングされた標本点列 {x(nTs)}n=−∞∞ から完全に再構成することができます。ここで、Ts=1/fs はサンプリング周期です。
再構成は、理想的なローパスフィルタ H(f) を用いて、サンプリングされた信号のフーリエ変換をフィルタリングすることで行われます。この理想的なローパスフィルタは、 ∣f∣≤fc で H(f)=1、∣f∣>fc で H(f)=0 という周波数特性を持ち、カットオフ周波数 fc は fmax≤fc≤fs−fmax の範囲に設定されます。通常、fc=fmax または fc=fs/2 （ナイキスト周波数）が用いられます。
再構成された連続時間信号 x^(t) は、サンプリングされた点列を用いて、以下の補間公式で与えられます。
ここで、sinc(x)=πxsin(πx) はシンク関数です。この公式は、サンプリングされた各点の値を、時間的にずれたシンク関数で重み付けして足し合わせることで、元の連続時間信号を完全に復元できることを示しています。
ナイキストレートとナイキスト周波数
- ナイキストレート (fNyquist_rate): 信号を歪みなくサンプリングするために必要な最小のサンプリング周波数であり、信号の最大周波数 fmax の2倍に等しい (fNyquist_rate=2fmax)。
- ナイキスト周波数 (fNyquist_frequency): サンプリング周波数 fs の半分に等しい周波数 (fNyquist_frequency=fs/2)。サンプリングされた離散時間信号が表現できる最大周波数成分です。エイリアシングが発生しないためには、元の信号の最大周波数はナイキスト周波数よりも低くなければなりません。
シャノンの標本化定理 の重要性と応用
シャノンの標本化定理は、アナログ信号をデジタル信号に変換する際の基本的な指針を与え、デジタル信号処理の理論的基盤となっています。その重要性と応用は多岐にわたります。
- デジタルオーディオ: 音声信号をデジタル化する際、人間の可聴帯域（約20Hz〜20kHz）の最大周波数の2倍以上のサンプリング周波数（例：CDの44.1kHz）が用いられるのは、シャノンの標本化定理に基づいています。
- デジタル画像・映像: 画像や映像信号をデジタル化する際にも、空間的または時間的な周波数成分を考慮して適切なサンプリングレートが選択されます。
- 通信システム: アナログ情報をデジタル信号として伝送する際に、信号の帯域幅に基づいて適切なサンプリングレートが決定されます。
- センサー技術: 物理現象を電気信号として捉え、デジタルデータとして処理する多くのセンサーシステムにおいて、信号の周波数特性に応じたサンプリングレートの選択が重要です。
- 医療イメージング: MRI、CTスキャンなどの医療画像診断技術においても、空間的な信号のサンプリングレートが画像の解像度に影響を与えます。
シャノンの標本化定理 の理想と現実
シャノンの標本化定理は、理想的な条件下での完全な再構成を保証する理論的な結果です。
現実のシステムでは、理想的なローパスフィルタの実現が困難であったり、サンプリング間隔のジッタ（時間的なずれ）や量子化誤差などの影響を受けたりするため、完全に歪みのない再構成が常に可能とは限りません。
しかし、シャノンの標本化定理は、適切なサンプリングレートの選択と信号処理の設計における重要な指針を与え続けています。
シャノンの標本化定理は、連続時間信号をデジタル化し、再びアナログ信号として再構成する際の 基礎的な原理であり、サンプリング周波数が信号の最大周波数の2倍を超えていれば、元の信号を理論的に完全に復元できることを示しています。
この定理は、デジタルオーディオ、デジタル画像・映像、通信システムなど、現代のデジタル技術の基盤を支える重要な概念です。ナイキストレートやエイリアシングといった関連概念とともに、信号処理を理解する上で不可欠な知識と言えるでしょう。
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