Softmax関数とは
Softmax関数は、ニューラルネットワークの最終出力層において、複数のクラス分類を行う際に、入力された実数値のベクトルを、各クラスに属する確率を表す確率分布（総和が1となるベクトル）に変換するために用いられる関数のことです。
Softmax関数の概要と多クラス分類における役割
Softmax関数は、機械学習、特に多クラス分類（Multi-Class Classification）問題で使用される最も一般的な活性化関数です。
例えば、「この画像は犬、猫、鳥のどれかである」といった問題で、モデルが各クラスに属する確信度（ロジット）を実数値として出力した後、それらをユーザーやシステムが解釈しやすい確率に変換する役割を果たします。
Softmax関数が重要なのは、以下の2点にあります。
- 確率分布への変換: 出力される各要素は 0 から 1 の間に収まり、全要素の総和が厳密に 1 になるため、各クラスに属する確率として自然に解釈できます。
- 最大値の強調: 入力された値（ロジット）の大小関係を維持しつつ、特に大きな値を持つ要素の確率を、他の要素の確率よりも指数関数的に大きく引き伸ばす効果（最大値の強調）があります。これにより、最も確信度の高いクラスが際立つようになります。
主な目的は、ニューラルネットワークの出力を、複数のクラスの中から一つを選択するための、論理的に整合性の取れた確率的な形式に変換することです。
Softmax関数の数学的定義と計算
$K$ 個のクラスに対する分類を行う場合、ニューラルネットワークの最終層の線形出力（ロジットベクトル）を $z = (z_1, z_2, \dots, z_K)$ とします。Softmax関数はこの $z$ を入力として受け取り、確率ベクトル $\sigma(z) = (p_1, p_2, \dots, p_K)$ を出力します。
1. Softmax関数の計算式
クラス $j$ に属する確率 $p_j$ は、以下の式で計算されます。
ここで、
- $z_j$: 入力ロジットベクトル $z$ の $j$ 番目の要素（クラス $j$ のスコア）。
- $e^{z_j}$: ロジット $z_j$ の指数関数。
- $\sum_{k=1}^{K} e^{z_k}$: すべてのクラスの指数関数の総和（正規化項）。
2. 指数関数による「最大値の強調」
分子に指数関数（$e^z$）を用いることにより、入力ロジットのわずかな差が、出力確率に大きな差として現れます。例えば、入力ロジットが $(2, 3, 1)$ であった場合、最大のロジット 3 を持つクラスの確率は、ロジット 2 や 1 を持つクラスの確率よりも相対的に非常に高くなります。これにより、モデルは最も確信度の高い選択肢を強調し、分類を明確化します。
3. 総和が 1 になる正規化
分母がすべてのクラスの指数関数の総和であるため、すべての出力確率 $p_j$ を合計すると、必ず 1 になります。
Softmax関数の実務上の注意点
1. 安定性の問題（オーバーフロー対策）
$e^{z_j}$ を計算する際、入力ロジット $z_j$ が非常に大きな値を取ると、指数関数 $e^{z_j}$ も極めて大きな値となり、コンピュータの浮動小数点数の表現可能な範囲を超えてしまうオーバーフローが発生する可能性があります。
この問題に対処するため、実際の実装では、入力ロジットベクトル $z$ から最大値 $z_{\max}$ を引いてからSoftmaxを計算する数値的に安定した方法が用いられます。この操作は数学的には結果を変えません。
2. 勾配消失の回避
Softmax関数自体は、分類タスクの最終層で使用されるため、Sigmoid関数やtanh関数が抱える深いネットワークにおける勾配消失問題の影響は受けません。これは、Softmaxが分類の誤差を計算するためのクロスエントロピー損失関数と組み合わせて使用される際、勾配が非常に単純な形に整理されるためです。
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